-
primer: npr. igralna kocka (3.5) ali binomska (np)- $X\sim \begin{pmatrix}1 && 2 && 3 && 4 && 5 && 6 \ \frac{1}{6} && \frac{1}{6} && \frac{1}{6} && \frac{1}{6} && \frac{1}{6} && \frac{1}{6}\end{pmatrix}$
$E(X)=\sum\limits_{i=1}^6 x_i \cdot p_i = 1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+\cdots + 6\cdot \frac{1}{6}=3.5$
| Porazdelitev | E(X) |
|---|---|
-
motivacija za definicijo (utezeno povprecje), tj. tezisce- povprecje vrednosti diskretne spremenljivke (verjetnost
$\cdot$ vrednost) - utezeno povprecje:
$k_1 + \dots+ k_m = N$ ,$f_i = \dfrac{k_i}{N}$ $$\overline{x} = \dfrac{x_1k_1 + \dots + x_mk_m}{N} = x_1f_1 + \dots + x_mf_m$$ - predstavlja
$\mu$ pri CLI$$E(X)=\sum\limits^n_{i=1}x_i \cdot p_i$$ $P(X = a) = 1 \Rightarrow E(X) = a$
- povprecje vrednosti diskretne spremenljivke (verjetnost
-
definicija za diskretne slucajne spremenljivke (kdaj obstaja)- diskretna slucjna spremenljivka je slucajna spremenljivka, ki ima stevno zalogo vrednosti
$E(X)=\sum\limits^n_{i=1}x_i \cdot p_i$ -
pogoj
$\sum\limits^n_{i=1} |x_i| \cdot p_i < \infty$ - Slucajna spremenljivka
$X$ ima pricakovano vrednost, ko ga ima slucajna sp.$|X|$ . Ocitno velja$|E(X))| \leq E(|X|)$ .
-
definicija za zvezne slucajne spremenljivke (kdaj obstaja)- zvezna slucajna spremenljivka je slucajna spremenljivka ki lahko zavzameo katerokoli vrednost iz nekega intervala
$E(X) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\cdot p_X(x) dx$ -
pogoj:
$\int\limits_{-\infty}^{\infty} |x|p_X(x)dx < \infty$
-
primer slucajne spremenljivke za katero ne obstaja E(X)-
$X\sim p(x) = \frac{1}{\pi (1+x^2)}$ Caucheyeva porazdelitev -
$x_k= (-1)^{k + 1} \dfrac{2^k}{k}$ in$p_k = 2^{-k}$ (primer diskretne ko je$E(X) = \infty$ ) V tem primeru bi morala biti koncna vsota:$s = \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} + \dots$ , opazimo$\frac{1}{3}+\frac{1}{4} >\frac{1}{4}+\frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ , ter v splosnem $$ \frac{1}{2^n+1} + \dots + \frac{1}{2^{n+1}} > \frac{2^n}{2^n+1} = \frac{1}{2} $$ torej velja$S> \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2} \rightarrow$ neskoncna vsota.
-
-
lastnosti: linearnost, z dokazom za homogenost-
linearnost:
$E(aX+bY)=aE(x)+bE(Y)$ -
homogenost:
$E(aX)=aE(X)$ :-
Dokaz: homogenost in linearnost integriranja ter vsote (po definiciji) $\sum\limits_{i=1}^{\infty} a\cdot x_i p_{Xi}+ \sum\limits_{i=1}^{\infty} b\cdot y_i p_{Yi}=a\cdot b\sum\limits_{i=1}^{\infty} x_ip_{Xi}+y_ip_{Yi}$ - E(X) je definirana kot povprecje diskretnih spremenljivk, ce vse to pomnozis s konstanto se mnozi tudi povprecje
-
-
linearnost:
-
Skica dokaz aditivnosti E(X+Y) = E(X)+E(Y) = ali Trditev 7.1: E(|XY|) ≤ √E(X2)E(Y 2)-
$$E(X + Y) = E(Z) = \int_{-\infty}^{\infty} zp_z(z)dz$$ $$= \int_{- \infty}^{\infty} z(\int_{- \infty}^{\infty} p(x, z-x))dz= \int_{- \infty}^{\infty}\int_{- \infty}^{\infty} (x + y)p(x,y)dxdy$$ $$\int_{-\infty}^{\infty}(\int_{-\infty}^{\infty} xp(x,y)dx)dy + \int_{-\infty}^{\infty}(\int_{-\infty}^{\infty} yp(x,y)dx)dy$$ $$= \int_{-\infty}^{\infty} xp_X(x)dx + \int_{-\infty}^{\infty} yp_X(y)dy$$ $$=E(X) + E(Y)$$ -
lastnosti vsot/integralov
-
primeri: npr. binomska (np(1 − p)), enakomerna (b − a)2/12
| porazdelitev | D(X) |
|---|---|
-
definicija s pricakovano vrednostjo in obstoj-
Definicija:
$D(X) = E((X-E(X))^2)=E(X^2)-E^2(X)$ $D(X)\geq 0$ - Pogoj: nesme biti neskoncna
-
$D(aX) = a^2D(X)$ in$D(x + a) = D(X)$
-
Definicija:
-
D(X) = 0 ⇐⇒ X je konstanta$D(X)=E((X-E(X))^2)=E((X-X)^2)=E(0)=0$ - Torej ce je npr
$P(X=a)=c$ , Bo odklon vseh ostalih posameznih vzorcev od povprecja = 0;
-
lastnosti (aditivnost za neodvisni slucajni spremenljivki)- Aditivnost disperzije:
$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 \text{Cov}(X,Y)$ - ce sta X in Y neodvisni:
$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$
- ce sta X in Y neodvisni:
- Aditivnost disperzije:
-
Standardizacija, slucajne spremenljivke in njena pricakovana vrednost oz. odklon- Slucajno spremenljiko X standardiziramo s transformacijo
$$X_s=\frac{X-\mu}{\sigma}$$ -
$E(X)=\mu$ in$D(X)=\sigma^2$
-
-
Velja:
$E(X_s)=E(\frac{X-\mu}{\sigma})=\frac{E(X-\mu)}{\sigma}=\frac{\mu-\mu}{\sigma}=0$ $D(X_s)=D(\frac{X-\mu}{\sigma})=\frac{D(X-\mu)}{\sigma^2}=\frac{\sigma^2+0}{\sigma^2}=1$
- Standardizacija slucajne spremenljivke povzroci da vsaka spr. enako vpliva na pricakovano vrednost (npr. ce smo neke rezultate zmerili z razlicinimi merili, to nam pomaga za primerjavao razlicnih tipov spremenljivk)
- Slucajno spremenljiko X standardiziramo s transformacijo
-
Skica dokaza zveze “kosinusni izrek”- $$ D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y) \sim (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2cos\alpha $$
- analogija: Disperzijo bi lako primerjali s tipicnim geometrijskim kosinusnim izrekom. Ko sta si stranici pravokotni se izraz izracuna neodvisno od
$cos(90)=0$ . Ce pogledamo pri disperziji, ko sta si spremenljivki nedovisni je njuna kovarianca$Cov(X, Y) = 0$ .
-
meri algebraicno povezanost dveh stevilskih slucajnih spremenljivk- predstavlja mero povezanosti med dvema spremenljivkama
- os y predstavlja slucajno spremenljiko Y
- os x predstavlja slucajno spremenljivko X
- predstavlja mero povezanosti med dvema spremenljivkama
-
definicija kovariance in njen obstoj (CS E(|XY|) ≤ √E(X2)E(Y2))-
Kovarianca
$\text{Cov}(X,Y)=E((X-E(X))\cdot(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y)$ $|Cov(X,Y)| \leq \sqrt{D(X)D(Y)}=\sigma_X \sigma_Y$ - spremenljivki za katerei velja da:
-
$\text{Cov}(X,Y) \neq 0$ sta korelirani-
$\text{Cov}(X,Y) > 0 \rightarrow X\uparrow Y\uparrow$ (pozitivno korelirani) -
$\text{Cov}(X,Y) < 0 \rightarrow X\uparrow Y\downarrow$ (negativno korelirani)
-
-
$\text{Cov}(X,Y) = 0$ sta nekorelirani
-
-
Primer
$X \equiv$ telesna visina osebe,$Y\equiv$ teza osebe- X in Y sta korelirani (pozitivno)
-
Kovarianca
-
lastnosti korelacije- Ce sta slucajni spremenljivki X in Y neodvisni
$\rightarrow E(XY)=E(X)E(Y) \rightarrow \text{Cov}(X,Y)=0$
- Ce sta slucajni spremenljivki X in Y neodvisni
-
definicij korelacijskega koeficienta, vedno na [−1, 1]- Korelacijski koefcient vpeljemo zato, ker je moc povzezanosti med dvema s.s. tezko ocentit preko kovariance, zato jo delimo s obema std. odklonoma
$r(X,Y)= \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{E(X^2)-E^2(X)}\cdot\sqrt{E(Y^2)-E^2(Y)}}$ -
$r(X,Y)=0\Leftrightarrow$ X in Y nekorelirani -
$r(X,Y)=\pm 1 \Leftrightarrow$ X in Y sta v linearni zvezi
-
kdaj lahko zakljucimo linearno odvisnost- Dve slucajni spremenljivki sta linearno odvisni ce lahko eno zapisemo kot linearno funkcijo druge
$\rightarrow$ korelacijski koeficient med njima bo 1 ali -1.
- Dve slucajni spremenljivki sta linearno odvisni ce lahko eno zapisemo kot linearno funkcijo druge
-
Ali lahko izracunamo korelacijo iz disperzij (tj. D(X), D(Y) in D(X+Y))$D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2\text{Cov}(X,Y)$
-
kovariancna matrika- Naj bo X stolpicni vektor
$X=(X_1,X_2,...X_n)^T$ (kjer so$X_i$ slucajne spremenljivke) - Potem definiramo kovariancno matriko
$K_{XX}$ ,$(i,j)$ -ti element je (kovarianca):$K_{X_iX_j}=\text{cov}[X_i, X_j]= E[(X_i-E[X_i])(X_j-E[X_j])]$
- Kovariancna matrika je simetricna
- Diagonalne vrednosti so disperzije
$K_{X_iX_i}=E((X_i-E(X_i))(X_i-E(X_i)))=E((X_i-E(X_i))^2)=D(X_i)$
- Naj bo X stolpicni vektor
-
povezava z regresijsko premico-
$K_{YX}K^{-1}_ {XX}$ je matrika regresijskih koeficientov
-
-
definicija slucajnega vektorja (primer)- Slucajni vektor je n-terica slucajnih spremenljiv
$X=(X_1,....,X_n)$ - Primer slucajni vektor
$X=(X_1, X_2)$ :-
$X_1$ stevilo metov ko pade sestica, pri 3 metih kocke -
$X_2$ stevilo metov ko pade stevilo manjse od 3, pri 3 metih kocke
-
- Slucajni vektor je n-terica slucajnih spremenljiv
-
definicija porazdelitvene funkcije (primer)$F(x_1,x_2,...,x_n)=P(X_1 \leq x_1, X_2\leq x_2, \dots, X_n \leq x_n)$ - Primer za metanje kock
-
$F_{X,Y}(x,y)=P(X\leq x, Y\leq y)= \sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^{\infty}p_{ij}\cdot 0/1$ (1 ce je i <= x in j <= y 0 sicer
-
- Za zvezni vektor uporabimo integrale
$F_{X,Y}(x,y)=P(X\leq x, Y\leq y)=\int\limits^x_{-\infty}\int\limits^y_{-\infty}p_{X,Y}(x,y)dxdy$
-
verjetnostna in kontingencna tabela, verjetnostna funkcija (primer)-
verjetnostna tabela $$ \begin{array}{c|cccc|c} X,Y & y_1 & y_2 & \dots & y_m & X \ \hline x_1 & p_{11} & p_{12} & \dots & p_{1m} & p_1 \ x_2 & p_{21} & p_{22} & \dots & p_{2m} & p_2 \ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \ x_n & p_{n1} & p_{n2} & \dots & p_{nm} & p_n \ \hline Y & q_1 & q_2 & \dots & q_m & 1 \end{array} $$
- kjer:
$P(X=x_i, Y=y_j)=p_{ij}$ -
$P(X=x_i)=p_i$ , robna porazdelitev za X -
$P(Y=y_i)= q_i$ , robna porazdelitev za Y
- kjer:
-
kontigencna tabela (modelira nakup avtomobila)
starost >20 <20 sum kupil avtomobil 80 20 100 ni kupil 100 50 150 sum 180 70 250
-
-
gostota verjetnosti (primer)- funkciji
$p_{X,Y}$ pravimo (dvorazsezna) gostota verjetnosti (doloca vektor zveznih spremenlijvk) - npr:
$p_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{4}$ z zalogo vrednosti$x\in [0,2], y\in [0,2]$
- funkciji
-
robne porazdelitvene funkcije- Funkciji
$F_i(x_i)=F(\infty,\dots,\infty,x_i,\infty,\dots,\infty)$ pravimo robna porazdelitvena funkcija spremenljivke$X_i$ - Npr za diskretne
$P(X=x_i)=\sum\limits_{j=1}^\infty p_{ji}$ $P(Y=y_i)=\sum\limits_{j=1}^{\infty}p_{ij}$
- Funkciji
-
Ali se da iz verjetnostne funkcije slucajnega vektorja ugotoviti neodvisnost njegovih komponent?-
DA, npr za diskretni vektor:
$\forall x,y: P(X=x, Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$
- npr, za zvezni vektor
$\forall x,y, X\leq x \land Y\leq y: p_{X,Y}(x,y)=p_X(x)p_Y(y)$
-
DA, npr za diskretni vektor:
-
zveza med gostoto verjetnosti in porazdelitveno funkcijo- za dve spremenljivki (na n spremenljivk trivialen prehod):
$F_{X,Y}(x,y)=P(X\leq x, Y\leq y) = \int\limits^x_{-\infty}\int\limits^y_{-\infty}p_{X,Y}(x,y)dxdy$
- za dve spremenljivki (na n spremenljivk trivialen prehod):
-
definicija kvadranta in izpeljava formule pravokotnik- Naj bo
$A(x,y)={(u,v)\in \mathbb{R}^2: u\leq x \land v \leq y}$ (levi spodnji kvadrant glede na (x,y)) - Naj porazdelitvena funkcija opisuje verjetnost da je slucajna tocka (X,Y) v mnozici A(x,y)
$$F(x,y)=p(X\leq x, Y\leq y)=P(X,Y)\in A(x,y)$$ - Tedaj je verjetnost da je slucjana tocka (X,Y) v pravokotniku
$(a,b]\times (c,d]$ enaka:$$P(X,Y)\in (a,b]\times (c,d]=F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)$$
- Naj bo
-
neodvisnost- diskretne:
$P(X=x)\cdot P(Y=y) = P(X=x,Y=Y)$ - zvezne:
$P_{X,Y}(X, Y) = P_X(X) * P_Y(Y)$
- diskretne:
-
primeri- Imamo volitve z 3 izbirami (A,B,C). Kandidat A prejme 20% glasov, B 30%, C 50% glasov. Ce so glasovalci izbrani
randomly, kaksna je verjetnost da bomo izmed 6 izbranih izbrali natanko enega volivca za kandidata A, dva za B in tri za C.
$$X\sim P(6;0.2,0.3,0.5)$$ $$P(A=1,B=2,C=3)=\frac{6!}{1!2!3!}(0.2^1)(0.3^2)(0.5^3)$$ - Iz kupa igralnih kart (52) na slepo izberemo eno karto in jo nato vrnemo nazaj. Postopek ponovimo 5-krat. Koliksna je verjetnost da bomo videli dvakrat srce, po enkrat pa pika kriza in karo
$$X\sim P(5, 0.25, 0.25, 0.25, 0.25)$$ $$P(X_1=2, X_2=1, X_3=1, X_4=1)=\frac{5!}{2!1!1!1!}0.25^2 0.25^1 0.25^1 0.25^1=0.05859$$
- Imamo volitve z 3 izbirami (A,B,C). Kandidat A prejme 20% glasov, B 30%, C 50% glasov. Ce so glasovalci izbrani
randomly, kaksna je verjetnost da bomo izmed 6 izbranih izbrali natanko enega volivca za kandidata A, dva za B in tri za C.
-
definicija- Polinomska porazdelitev
$\sim P(n;p_1,\dots,p_r)$ je dolocena s predpisom$P(X_1=k_1,\dots, X_r=k_r)=\frac{n!}{k_1!\cdots k_r!}p_1^{k_1}\cdots p_r^{k_r}$
- Polinomska porazdelitev
-
zaloga vrednosti$\sum\limits_{i=1}^r p_i = 1$ $\sum\limits_{i=1}^{r} k_i = n$
-
verjetnostna funkcija (zapisi pi,j,...,k)- Polinomska porazdelitev
$\sim P(n;p_1,\dots,p_r)$ -
$\sum p_i = 1$ ,$\sum k_i = n$ - spremenljivke
$X_i$ opisujejo stevilo pojavitev rezultata i
-
$P(X_1=k_1, \dots, X_r=k_r)=\frac{n!}{k_1! \cdots k_r!}p_1^{k_1}\cdots p_r^{k_r}$
- Polinomska porazdelitev
-
povezava z binomsko- je posplositev binomske porazdelitve
- za r=2 dobimo binomsko spremenjivko
$B(n,p)=P(n,p,q)$
-
pricakovana vrednost in disperzija$E(X_i)= np_i$ $D(X_i)=np_i(1-p_i)$
-
primeri enostavnih funkcij- Imamo $X\sim \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}$
- Potem $5X \sim \begin{pmatrix} -5 & 0 & 5 \ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}$
- Imamo podano porazdelitveno shemo $$ \begin{array}{c|ccc|c} Y,X & 0 & 1 & 2 & X\ \hline 0 & \frac{2}{50} & \frac{2}{50} & \frac{1}{50} & \frac{5}{50} \ 1 & \frac{6}{50} & \frac{6}{50} & \frac{3}{50} & \frac{15}{50}\ 2 & \frac{12}{50} & \frac{12}{50} & \frac{6}{50} & \frac{30}{50} \ \hline Y & \frac{20}{50} & \frac{20}{50} & \frac{10}{50} & 1 \end{array} $$
- $Z= X^2 \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 \ 0.1 & 0.3 & 0.6\end{pmatrix}$
- $W=X+Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \ 0.04 & 0.16 & 0.38 & 0.30 & 0.12 \end{pmatrix}$
$P(W=0)=P(X=0, Y=0)=0.04$ $P(W=1)= P(X=0,Y=1)+P(X=1, Y=0)= 0.16$ $P(W=2)= P(X=0, Y=2) + P(X=1,Y=1) + P(X=2, Y=0)=0.38$ $P(W=3)=P(X=1, Y=2)+P(X=2,Y=1)=0.30$ $P(W=4)= P(X=2,Y=2)=0.12$
-
definicija in povezava med ustreznima porazdelitvenima funkcijama- naj bo
$Y=g(X)$ - $F_Y(y)=P(g(X)\leq y)=\Bigg{\begin{matrix} P(X\leq g^{-1}(y)), & g^{-1} \text{ narascujoca} \ P(X\geq g^{-1}(y)), & g^{-1} \text{ padajoca} \end{matrix}$
-
Primer: naj bo
$Y=X^2$ $P(X^2\leq y)=P(|X|\leq \sqrt{y})=P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})$
- naj bo
-
zveza med gostatami verjetnosti- Ce je
$X$ porazdeljena z zvezno gostoto$p(x)$ , je$F_Y(y) = \int_{-\infty}^{f^{-1}(y)} p(x) dx$ , - in ce je
$f$ se odvedljiva velja$p_Y(x) = p(f^{-1}(y))f^{-1}(y)'$
- Ce je
-
formula za pricakovano vrednost- diskretna:
$$E(f(X))=\sum\limits^{\infty}_{k=0} f(x_k)\cdot p_k$$ - zvezna
$$E(f(X))=\int\limits^{\infty}_{-\infty} f(x)\cdot p_X(x) dx$$
- diskretna:
-
neodvisnost- Ce so
$X_1,X_2,\dots, X_n$ neodvisne standardizirane normalne slucajne spremenljivke, je slucajna spremenljivka$Y=X_1^2+\cdots+X^2_n$ porazdeljena po$\chi^2(n)$
- Ce so
-
izpeljava zveze med N(0, 1) in χ2(1)- Naj bo X standardizirana normalna spremenljivka z
$p_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ - nastavimo
$Y=X^2$ $g^{-1}(x)=\sqrt{x}$ $\frac{dg^{-1}}{dx}=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$
$p_Y(x)=p_X(g^{-1}(x))\cdot \frac{dg^{-1}}{dx}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi x}}e^{-\frac{x}{2}}$ - Dobili smo
$\chi^2(1)$ $X_i \sim N(0,1)$ $\chi^2(k)=X_1^2+\dots + X_k^2$
- Naj bo X standardizirana normalna spremenljivka z
-
primer- Izracun pricakovane vrednosti
$(E(X))$
- Izracun pricakovane vrednosti
-
definicija- Naj bo
$f:(x,y)\rightarrow (u,v)$ transofrmacija slucajnega vektorja (X,Y) v slucajni vektor (U,V) dolocena z zvezama$U=u(X,Y)$ in$V=v(X,Y)$ . Porazdelitveni zakon za nov slucajni vektor$(U,V)$ je $F_{U,V}(u,v)=P(U < u, V < v)=P((U,V)\in A(u,v))=P(X,Y)\in f^{-1}(A(u,v))$
- Naj bo
-
definicija konvolucije- Definiramo
$Z=X+Y$ , kjer je$(X,Y)$ zvezno porazdljen slucajni vektor z gostoto$p(x,y)$ verjetnostna funkcija (diskretni) $F_Z(z)=P(Z\leq z)=P(X+Y \leq z)=\int \int_{x+y\leq z} p(x,y) dx dy=\int\limits^{\infty} _ {-\infty}dx \int\limits_{-\infty}^{z-x}p(x,y)dy$ - za slucajni dobimo gostoto verjetnosti:
$$p_Z(z)=\int\limits^\infty_{-\infty}f_{XY}(x,z-x)dx$$ - za diskretni pa dobimo
$$P(Z=z)=\sum\limits^\infty_{k=-\infty} P(X=k)P(Y=z-k)$$ - ce sta neovidsni pa
$$p_Z(z)=\int\limits^\infty_{-\infty}p_X(x)p_Y(z-x)dx$$
- ce sta neovidsni pa
- Gostota
$p_Z = p_X * p_Y$ je konvolucija funkcij$p_X$ in$p_Y$ .
- Definiramo
-
uporaba za vsoto dveh neodvisnih normalnih porazdelitev$X\sim N(\mu_X, \sigma^2_X)$ $Y\sim N(\mu_Y, \sigma^2_Y)$ $Z = X + Y \rightarrow Z\sim N(\mu_X+\mu_Y, \sigma_X^2+\sigma_Y^2)$
-
uporaba za vsoto dveh neodvisnih Gama porazdelitev-
$X\sim \Gamma(n_1, \lambda)$ , in$Y\sim \Gamma(n_2,\lambda)$ potem$X+Y\sim \Gamma(n_1+n_2, \lambda)$
-
-
formula za pricakovano vrednost produkta$E(XY)= E(E(XY | Y))$ - ce sta neovidsni
$E(XY)=E(X)\cdot E(Y)$
-
Jacobijeva determinanta in prehod na nove spremenljivke- Ce je funkcija f bijektivna z zveznimi parcialnimi odvodi lahko nadaljujemo $$F_{U,V}(u,v)= \int\int_{A(u,v)} p(x(u,v), y(u,v)) \left| \text{det} \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \ \frac{\partial{v}}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}\right| du dv$$
-
primer za diskretni slucajni vektor- Imamo porazdelitveno shemo. Zapisi pogojno verjetnostno porazdelitev slucajne spremenljivke X, glede na pogoj y=2
- Verjetnost v vrstici pri
$y=2$ , moramo deliti s$P(Y=2) = 0.2$ $$X|y=2\sim \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \ 0.25 & 0.5 & 0.25 & 0 \end{pmatrix}$$
- Imamo porazdelitveno shemo. Zapisi pogojno verjetnostno porazdelitev slucajne spremenljivke X, glede na pogoj y=2
-
definicija v diskretnem primeru in v zveznem primeru- diskretni primer:
- Naj bo B nek mogoc dogodek
$P(B)>0$ . Potem lahko vpeljemo pogojno porazdelitveno funkcijo:$$F(x|B)=P(X\leq x|B)=\frac{P(X\leq x,B)}{P(B)}$$
- Naj bo B nek mogoc dogodek
- zvezni primer:
- Postavimo
$B=(y<Y\leq y+h)$ za$h>0$ in zahtevajmo$P(B)>0$ $$F_X(x|B)=P(X\leq x |B)=\frac{P(X\leq x, y<Y \leq y+h)}{P(y\leq Y < y+h)}=\frac{F(x,y+h)-F(x,y)}{F_Y(y+h)-F_Y(y)}$$
- Postavimo
- diskretni primer:
-
pogojna porazdelitvena funkcija v obeh primerih- diskretni primer:
$$F_X(x|y_k)=F_X(x|Y=y_k)=P(X\leq x | Y = y_k)=\frac{P(X<x,Y=y_k)}{P(Y=y_k)}=\frac{1}{q_k}\sum\limits_{x_i\leq x} p_{ik}$$ - zvezni primer:
- ce obstaja limita za (
$h\rightarrow 0$ )$$F_X(x|y)=F_X(x|Y=y)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{F(x,y+h)-F(x,y)}{F_Y(y+h)-F_Y(y)}$$ - imenujemo jo pogojna porazdelitvena funkcija slucajne spremenljivke X glede na dogodek (Y=y)
- ce obstaja limita za (
- diskretni primer:
-
izpeljava pogojne verjetnostne funkcija v diskretnem primeru- Vpeljimo pogojno verjetnostno funkcijo
$p_{i|k}=\frac{p_{ik}}{q_k}$ . Tedaj je$F_X(x|y_k)=\sum\limits_{x_i\leq x}p_{i|k}$
- Vpeljimo pogojno verjetnostno funkcijo
-
izpeljava pogojne gostote v zveznem primeru- Naj bosta gostoti
$p(x,y)$ in$p_Y(y)> 0$ zvezni. Tedaj je:$$F_X(x|y)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{F(x,y+h)-F(x,y)}{h}}{\frac{F_Y(y+h)-F_Y(y)}{h}}=\frac{\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)}{F_Y'(y)}=\frac{1}{p_Y(y)}\int\limits^x_{-\infty}p(u,y)du$$
- Naj bosta gostoti
primer za zvezni slucajni vektor
-
Momenti pokazejo lastnosti vzorca - povprecno vrednost, razprsitev, asimetrijo in sploscenost.
-
katere momente poznas-
Zacetne (merimo od 0)
- Consider the following dataset [12 14 14 17 18]
- Consider alternate dataset [15 15 15 15 15] (enak prvi moment)
- Each item represents distance from 0
- average distance from zero:
$\frac{\Sigma x_i}{n}\rightarrow$ prvi moment =$\mu_1=15$ predstavlja povprecje - average square distance fom zero :
$\frac{\Sigma x_i^2}{n}\rightarrow$ drugi moment =$\mu_2=229.8$ (alternate data set ima$\mu_2 =225$ ) -
$\frac{\Sigma x_i^3}{n}$ tretji moment -
$\frac{\Sigma x_i^4}{n}$ cetrti moment
-
Centralne (merimo od sredine)
- average square distance from povprecna vrednost
$\frac{\Sigma(x_i-\mu_1)^2}{n}\rightarrow$ centriran drugi moment predstavlja varianco$\sigma^2$ -
$\frac{\Sigma(x_i-\mu_1)^3}{n}\rightarrow$ centriran tretji moment (asimetrija skewness) -
$\frac{\Sigma(x_i-\mu_1)^4}{n}\rightarrow$ centriran cetrti moment (sploscenost, kurtosis)
- average square distance from povprecna vrednost
-
Standardizirane
-
$\frac{1}{n}\frac{\Sigma(x-\mu)^3}{\sigma^3}$ (standardizeran tretji moment) -
$\frac{1}{n}\frac{\Sigma(x-\mu)^4}{\sigma^4}$ (standardizeran cetrti moment)
-
-
Zacetne (merimo od 0)
-
definicija momenta reda k glede na tocko a- Momenti so posplositev pricakovane vrednosti in disperzije.
- Momenti reda
$k \in N$ glede na tocko$a \in R$ imenujemo kolicino$m_k(a) = E((X - a)^k)$ - Moment obstaja, ce obstaja pricakovana vrednost, ki ni neskoncna
$E(|X-a|^k) < \infty$ - Za
$a = 0$ dobimo zacetni moment$z_k = m_k(0)$ - Za
$a = E(x)$ dobimo centralni moment$m_k = m_k(E(X))$
-
zacetni moment, centralni moment- zacetni moment ko je a =0
- centralni moment ko je a = povprecna vrednost
-
lastnosti- Ce obstaja centralni moment reda n, potem obstaja vsi momenti reda k,
$k\leq n$ - Ce obstaja zacetni moment reda n, potem obstajaju tudi centralni momenti reda n za
$\forall a \in \mathbb{R}$ - Ce sta
$X$ in$Y$ neodvisni velja:$m_3(X+Y) = m_3(X) +m_3(Y)$
- Ce obstaja centralni moment reda n, potem obstaja vsi momenti reda k,
-
definicija kvantila- Kadar spremenljivka nima momentov uporabimo kvantile.
- Kvantili so "linije" ki razdelijo podatke v skupine enake velikosti
- Mediana je drugi kvantil (ker polovica podatkov manse polovica vecje)
- Percentili so kvantili ki delijo podatke v 100 skupine enake velikosti
-
povezava z inverzom porazdelitvene funkcije- TODO
- why
-
Primer1- Povprecna teza 20 studentov je bila 165lbs z vzorcnim standardnim odklonom 4.5. Konstruiraj 95% interval zaupanja za populacijsko povprecje.
-
$\overline{x}=165$ ,$n=20$ ,$s=4.5$ - Ker nimamo standardnega odklona populacije
$\sigma$ , ne moremo izracunati normalne porazdelitve, ampak uporabimo studentovo- Poleg tega imamo tudi
$n\leq20$ (za normalno rabimo$n\geq30$ )
- Poleg tega imamo tudi
-
$\mu \rightarrow \overline{x} \pm t_{n-1, \alpha/2}$ -
$n-1$ = degrees of freedom = 19 $\frac{\alpha}{2}= \frac{0.05}{2}=0.025$ -
$t_{19, 0.025}$ = pogledamo v tabeli =$2.093$
-
$\mu \rightarrow 165 \pm 2.093 (\frac{4.5}{\sqrt{20}})=165\pm 2.106$ - Dobili smo 95% interval zaupanja
$I_\mu=\left[ 162.894, 167.106\right]$ - z 95% lahko recemo da je povprecna teza v tem interavlu
-
Kako lahko pridemo do te porazdelitve?- Uporablja se kadar imamo na voljo majhno stevilo podatkov, in je priblizek normalne porazdelitve
- Pridemo preko naslednjega obrazca:
$$t_{n-1,\alpha}=\frac{\overline{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}$$ - Podbna normalni z "debelimi kraki" (vecja dispersija - manj podatkov - mansa zaneslivost)
- za
$n>30$ je ze skor enaka z-statistiki (normalni porazdelitvi) $Z_X = \mathbb{R}$
-
gostota verjetnosti$$p(x)=\frac{(1+\frac{x^2}{n-1})^{-\frac{n}{2}}}{\sqrt{n-1}B(\frac{n-1}{2}, \frac{1}{2})}$$ -
definicja beta funkcije$$B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}=B(y,x)$$ -
posebne vrednosti beta funkcije$$B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})=\pi$$ $$B(n_1,n_2)=\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!} \text{ za } n_1, n_2 \in \mathbb{N}$$ -
katero porazdelitev dobimo za eno prostostno stopnjo in katero, ce je stivlo prosotstnih stopenj dovolj veliko- ena prostostna stopnja: Caucheyeva porazdelitev
- dovolj veliko stevilo prostostnih stopenj: Normalna porazdelitev
kako lahko pridemo do te porazdelitve primer
Recimo da imamo dve populaciji. Populacijo1 bomo primerjali z Populacijo2.
Recimo da naredimo IQ test na obeh populacijah. Na vzorcih iz obeh populacij izracunamo vzorcno povprecje ter (vzorcni odklon)
- Primerjali bomo dva vzorcna odklona
-
Testna statistika (Fisherjeva) je
$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$ -
$s_1^2$ dobimo iz$n$ vzorcev 1. populacije -
$s_2^2$ dobimo iz$m$ vzorcev 2. populacije
-
-
F-distribution, parametri-
$F(n, m)=\frac{\chi^2(n) / n}{\chi^2(m) / m}$ -
$n$ prostostne stopnje prve$\chi^2$ spremenljivke -
$m$ prostostne stopnje druge$\chi^2$ spremenljivke
-
-
$Z_F = \mathbb{R}^+$ - oblika odvisna od prostnostnih stopenj obeh vzorcov
-
-
definicija - verjetnostna funkcija$$p(x)=\frac{m^{\frac{3}{2}}n^{\frac{n}{2}}}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})}\cdot \frac{x^{\frac{(m-2)}{2}}}{(n+mx)^{\frac{m+n}{2}}}$$ -
beta funkcije$$B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}=B(y,x)$$ $$B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})= \pi$$ -
Primer statistike, ki se porazdeljuje po Fisherjevo- F-test za hipoteze o enakosti varianc v dveh normalno porazdeljenih statisticnih populacijah in v regresijski analizi.
-
se kaksne lastnosti fisherjeve porazdelitve- Za
$U \sim F(m,n)$ je$\dfrac{1}{U} \sim F(n, m)$ - Za
$U \sim t(n)$ je$U^2 \sim F(1, n)$
- Za
| Statisticni parameter | enacba |
|---|---|
| Pricakovana vrednost |
|
| Modus | |
| varianca |